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Y)关于 的边布函数 关于Y的边布函数. 称为二维随

来源:本站原创  作者:admin  更新时间:2019-09-19  浏览次数:


  概率论取数理 概率论取数理统计 论取数理统计 第五讲 二维随机变量 第三章 随机变量及其分布 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 二维随机变量 边布 前提分布 彼此的随机变量 两个随机变量的函数的分布 2 3.1 二维随机变量 图示 3 一、随机变量 1.定义 将n个随机变量X1,X2,...,Xn形成一个n维 1.定义 个随机变量X 形成一个n 称为n维随机变量。 向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。 一维随机变量X——R 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 二维随机变量 n维随机变量 1,X2,…,Xn)——Rn上的随机点坐标 维随机变量(X 维随机变量 随机变量的研究方式也取一维雷同, 随机变量的研究方式也取一维雷同, 用分布函数、概率密度、 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计纪律 4 实例1 炮弹的弹着点的 实例 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿童的 实例 发育环境 , 则儿童的身高 H 和体沉 W 就形成二维随机变量 ( H, W ). 申明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不只取 X、Y 有 、 并且还依赖于这两个随机变量的彼此关系. 关,并且还依赖于这两个随机变量的彼此关系 并且还依赖于这两个随机变量的彼此关系 5 二. 结合分布函数 是二维随机变量, 设(X, Y)是二维随机变量,(x, y)∈R2, 则称 是二维随机变量 ∈ F(x,y)=P{X≤x, Y≤y} ≤ ≤ 为(X, Y)的分布函数,或X取Y的结合分布函数 的分布函数, 取 的结合分布函数。 几何意义:分布函数F( 几何意义:分布函数 x0,y0) 暗示随机点(X,Y)落正在区域 落正在区域 暗示随机点 中的概率。如图暗影部门: 中的概率。如图暗影部门: 6 对于(x 对于 1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1 x2, y1y2 ),则 ∈ 则 , P{x1X≤ x2, y1Y≤y2 } ≤ , ≤ =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F (x1, y2)+F (x1, y1). - - + (x1, y2) (x2, y2) (x1, y1) (x2, y1) 7 分布函数F(x, y)具有如下性质: 具有如下性质 分布函数 具有如下性质: (1)归一性 对肆意 y) ∈R2 , 归一性 对肆意(x, 且 0≤ F(x, y) ≤ 1, ≤ (2)枯燥不减 枯燥不减 对肆意y ∈R, 当x1x2时, F(x1, y) ≤ F(x2 , y); 对肆意 ; 对肆意x 对肆意 ∈R, 当y1y2时, F(x, y1) ≤ F(x , y2). 8 (3)左持续 左持续 对肆意x∈ 对肆意 ∈R, y∈R, ∈ (4)矩形不等式 矩形不等式 对于肆意(x 对于肆意 1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1 x2, y1y2 ), ∈ , F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1)≥0. - - + ≥ 反之,任一满脚上述四个性质的二元函数F(x,y) 反之,任一满脚上述四个性质的二元函数F(x,y) 都能够做为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。 (X,Y)的分布函数 都能够做为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。 9 1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 已知二维随机变量(X,Y) 例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求 ,B,C。 2)求P{0X2,0Y3} 求A, , 。 求 求 解: 10 三.结合分布律 若二维随机变量(X, Y)只能取至少可列对值 i, yj), (i, 只能取至少可列对值(x 若二维随机变量 只能取至少可列对值 j=1, 2, … ),则称 = ,则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 为二维离散型随机变量。 称 P{X=xi, Y= yj,}= pij , (i, j=1, 2, … ),为二维离 = = = = , 散型随机变量(X, Y)的分布律,或随机变量 取Y的 散型随机变量 的分布律,或随机变量X取 的 结合分布律 结合分布律. 可记为 (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,(i, j=1, 2, … ), ~ = = = = 11 二维离散型随机变量的分布律也可列表暗示如下 二维离散型随机变量的分布律也可列表暗示如下: 也可列表暗示如下 X Y y1 p11 p21 pi1 ... ... y2 p12 p22 ... pi2 ... … ... ... ... yj … p1j ... p2j ... ... pij ... ... x1 x2 xi ... ... 结合分布律 结合分布律的性质 (1) pij ≥0 , i, j=1, 2, … ; = (2) 12 袋中有2只黑球、 只白球、 只红球,正在此中任取2只球. 例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只红球,正在此中任取2只球. 暗示取到黑球的只数, 暗示取到白球的只数. 以X暗示取到黑球的只数,以Y暗示取到白球的只数. 暗示取到黑球的只数 暗示取到白球的只数 (1)求 , )的分布律. (1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率 (2)求概率 解 (1) 所有可能取的分歧值为0,1,2; (1)X所有可能取的分歧值为 所有可能取的分歧值为0,1,2; Y所有可能取的分歧值为0,1,2. ( ,Y)的分布律为 所有可能取的分歧值为0,1,2. (X, ) 所有可能取的分歧值为 13 分布律也可写成以下表格的形式. 分布律也可写成以下表格的形式 X Y 0 1 2 0 1/7 2/7 1/21 1 2/7 4/21 0 2 1/21 0 0 14 (2) 15 四.二维持续型随机变量及其密度函数 1、定义 定义 对于二维随机变量(X, Y),若存正在一个非负 对于二维随机变量 , 函数f 函数 (x, y),使对?(x, y)∈R2, ,使对? ∈ 其分布函数 则称 (X, Y)为二维持续型随机变量,f(x,y)为 为二维持续型随机变量, 为 (X, Y)的密度函数 概率密度),或X取Y的结合密 的密度函数(概率密度 , 取 的 的密度函数 概率密度 度函数, 度函数,可记为 (X, Y)~ f (x, y), (x, y)∈R2 ~ , ∈ 16 2、结合密度f(x, y)的性质 、结合密度 的性质 (1)非负性: f (x, y)≥0, (x, y)∈R2; 非负性: 非负性 ≥ ∈ (2)归一性: 归一性: 归一性 反之,具有以上两个性质的二元函数f 反之,具有以上两个性质的二元函数 (x, y),必 , 是某个二维持续型随机变量的密度函数。 是某个二维持续型随机变量的密度函数。 17 此外, 此外,f (x, y)还有下述性质 还有下述性质 (3)若f (x, y)正在(x, y)∈R2处持续,则有 若 正在 ∈ 处持续, (4)对于肆意平面区域 ? R2, 对于肆意平面区域G? 对于肆意平面区域 18 例3. 设 F(1,1); 求:(1)A;(2) F(1,1); (1)A (3)(X,Y)落正在三角形区域 D:x≥0,y≥0,2x+3y≤ (3)(X,Y)落正在三角形区域 D:x≥0,y≥0,2x+3y≤6 内的概率。 内的概率。 解 (1) 由归一性 19 (3) (X, Y)落正在三角形区域 :x≥0, y≥0, 2X+3y≤6 落正在三角形区域D: ≥ ≥ 落正在三角形区域 ≤ 内的概率。 内的概率。 解 20 3. 两个常用的二维持续型分布 (1)二维平均分布 二维平均分布* 二维平均分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 若二维随机变量 的密度函数为 平均分布。 则称(X, Y)正在区域 上(内) 从命平均分布。 正在区域D上 内 从命平均分布 则称 正在区域 易见, 正在区域D上 内 从命平均分布, 易见,若 (X, Y) 正在区域 上(内) 从命平均分布 对 D内肆意区域 有 内肆意区域G, 内肆意区域 21 4.设(X,Y)从命如图区域 从命如图区域D 例4.设(X,Y)从命如图区域D 上的平均分布, 上的平均分布, (1)求(X,Y)的概率密度; (1)求(X,Y)的概率密度; 的概率密度 (2)求 (2)求P{Y2X} ; (3)求 (3)求F(0.5,0.5) SD = 1 解: 22 H 23 (2)二维正态分布 二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 若二维随机变量 的密度函数为 为实数, 此中, 此中 ?1、?2为实数 σ10, σ20, ρ1,则称 从命参数为? ρ ,则称(X, Y) 从命参数为?1, 二维正态分布, ?2, σ1, σ2, ρ的二维正态分布 可记 为 24 5:随机变量 随机变量( 例5:随机变量(X,Y)的概率密度为 求:(1)P{X≤0},(2)P{X≤1},(3)P{Y ≤ y0} ( ) ≤ ≤ y P{X≤ 答: P{X≤0}=0 D x 25 第三章 随机变量及其分布 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 二维随机变量 边布 前提分布 彼此的随机变量 两个随机变量的函数的分布 26 3.2 边布 一、边布函数 称为二维随机变量(X, Y)关于 的边布函数; 关于X的边布函数; 称为二维随机变量 关于 称为二维随机变量(X, Y)关于 的边布函数 关于Y的边布函数. 称为二维随机变量 关于 边布现实上是高维随机变量的某个(某些 低 边布现实上是高维随机变量的某个 某些)低 某些 维分量的分布。 维分量的分布 27 已知(X,Y)的分布函数为 例1. 已知 的分布函数为 求 FX(x) 取 FY(y)。 (x)=F(x,∞ 解:FX(x)=F(x,∞)= FY(y)=F(∞,y)= 28 二、边布律 若随机变量X取 的结合分布 的结合分布律为 若随机变量 取Y的结合分布律为 (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,i, j=1, 2, … ~ = = = = 则称 关于X的边布律; 为(X, Y)关于 的边布律 关于 关于Y的边布律。 为(X, Y)关于 的边布律。 关于 边布律天然也满脚分布律的性质。 边布律天然也满脚分布律的性质。 29 p 11 p 12 ? p1 j p 21 p 22 ? p2 j ? ? ? p i1 pi2 ? p ij ? ? ? ? ? ∞ ? P{ X = xi } = ∑ pij , i = 1,2,?; P {Y = y j } = ∑ pij , j = 1,2,?. i =1 30 j =1 ∞ 2.已知(X,Y)的分布律如下 已知(X,Y)的分布律如下, 的边布律。 例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解: x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和 的分布律别离为 的分布律别离为: 故关于 和Y的分布律别离为: X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5 0 3/5 31 三、边缘密度函数 设(X, Y)~f (x, y), (x, y)∈R2, 则称 ~ ∈ 关于X的边缘密度函数; 为(X, Y)关于 的边缘密度函数; 关于 同理,称 同理, 关于Y的边缘密度函数。 为(X, Y)关于 的边缘密度函数。 关于 32 边布函数 33 3.设(X,Y)的概率密度为 例3.设(X,Y)的概率密度为 (1)求c; (1)求c; 求 (2)求关于X的边缘概率密度fX(x) (2)求关于X的边缘概率密度f 求关于 和边布函数F 和边布函数FX(x) 解: (1)由归一性 由归一性 34 35 (X,Y)的概率密度为 例4. 设(X,Y)的概率密度为 (1)求c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. (1)求c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. 求c.(2)求关于 36 第三章 随机变量及其分布 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 二维随机变量 边布 前提分布 彼此的随机变量 两个随机变量的函数的分布 37 3.3 前提分布 问题 38 一.离散型随机变量的前提分布律 设随机变量X取 的结合分布 的结合分布律为 设随机变量 取Y的结合分布律为 (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,(i, j=1, 2, … ), ~ = = = = , X和Y的边布律别离为 和 的边布律别离为 39 若对固定的j, 若对固定的 p.j0, 则称 前提下, 的前提分布律 的前提分布律; 为Y= yj的前提下,X的前提分布律 = 同理,对固定的 同理,对固定的i, pi. 0, 称 前提下, 的前提分布律 的前提分布律; 为X= xi的前提下,Y的前提分布律 = 40 例1 41 解 由上述分布律的表格可得 42 43 一弓手进行射击,击中方针的概率为 击中方针的概率为p(0p1), 射 例2 一弓手进行射击 击中方针的概率为 击到击中方针两次为止.设以 设以X 击到击中方针两次为止 设以 暗示初次击中方针所进 行的射击次数, 暗示总共进行的的射击次数. 行的射击次数 以Y 暗示总共进行的的射击次数 试求 X 和 Y 的结合分布律及前提分布律 的结合分布律及前提分布律. 解 44 现正在求前提分布律. 现正在求前提分布律. 因为 45 46 二 持续型随机变量的前提概率密度 定义. 给定y,设对肆意固定的负数ε , 定义. 给定 ,设对肆意固定的负数ε0,极限 存正在,则称此极限为正在前提下 的前提分布函数. 存正在,则称此极限为正在前提下X的前提分布函数 记做 可证当 时 47 若记 fXY(xy) 为正在Y=y前提下 的前提概率密度,则 为正在 前提下X的前提概率密度, 前提下 当 时 雷同定义, 雷同定义,当 时 48 请同窗们思虑 答 49 例3 解 50 又知边缘概率密度为 51 例4 解 52 53 随机变量 离散型 持续型 边布 前提分布 边布 前提分布 54 功课 p.84 2, 2,9,11 55

  二维随机变量及前提分布。概率论取数理 概率论取数理统计 论取数理统计 第五讲 二维随机变量 第三章 随机变量及其分布 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 二维随机变量 边布 前提分布 彼此的随机变量 两个